求一道用相似图形做的数学习题答案（初二的）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 22:43:42
题目为：一个长方形被分割成3个正方形，求证：∠1+∠2+∠3=90°
在下愚钝，冥想了很久只知道∠3=45°而已···求大家给个做题的过程和答案，要运用初中知识最好是用相似图形的，谢谢

BF=√2a，EF=a，CF=2a
BF：CF=√2/2，EF :BF =a:√2a=√2/2
△CFB相似△BFE
∠2=∠CBF，∠1=∠HBC，∠CBF+∠HBC=∠HBF=45
∠1+∠2+∠3=90°

过点F做FP垂直于BE，交BE于点P
所以ΔEFP 相似于 ΔEBD
所以EF/EB=FP/BD,设正方形变长为a,则可以解得FP=√5/5a（五分之根号五倍的a）
sin∠PBF=PF/BF=√10/10 （这里也可以证明ΔPBF和ΔDCB相似，
又因为sin∠1=BD/BC=√10/10 来证明∠1=∠PBF)
所以∠1=∠PBF
因为AB//CD，所以∠2=∠ABE
所以∠1+∠2=∠ABE+∠PBF=∠3=45º
所以∠1+∠2+∠3=90º

设BD＝1 ∴BF＝√2 EF＝1 FC＝2 BF：EF FC：BF 且∠BFE＝∠CFB ∴△BFE∽△CFB ∠2＝∠FBC ∴∠1＋∠2＝1＋∠FBC＝∠BFD＝45 ∵∠3＝45 ∴∠1＋∠2＋∠3＝90