一道极难的简便计算

1+1/[(1+2)*2/2]+1/[(1+3)*3/2]+...+1/[(1+100)*100/2]
=1+2/2*3+2/3*4+...+2/100*101

=1+2(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/100-1/101)
=1+2(1/2-1/101)
=1+1-2/101
=200/101

看不见太小了。。在照一张

我们先看1+2+3+...+n=1/2n(n+1)

我们再看1/(1+2+3+...+n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]

这样就容易了

原式=2(1/1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2[1/n-1/(n+1)]

=2[1/1-1/(n+1)]

=2n/(n+1)

在你这题当中n=100，所以

原式=2*100/(100+1)=200/101

1+2+3+..+n=n(n+1)/2
1/(1+2+...+n)=2/n(n+1)=2(1/n-1/(n+1))

原式
=2（1-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+2(1/4-1/5)+...+2(1/100-1/101)
=2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/100-1/101)
=2(1-1/101)
=200/101

解:先看:
数列1，1／（1＋2），1／（1＋2＋3）．．．．，1／（1＋2＋3＋．．．＋） 的前N项和
第n项an=1/(1+2+3+...+n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)].故前n项和Sn=2(1/1-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+...+2[1/n-1/(n+1)]=2[1/1-1/(n+1)]=2n/(n+1)。

代入,你的题为加到100
所以2n/(n+1)=200/(101)

---TE.sunshine