指数方程的问题

f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2
= (3^x)^2 - (k+1)*(3^x) + 2

设 3^x = t
f(t) = t^2 - (k+1)t + 2

x 属于 R 则 t > 0

题目转化为 : t>0 时, f(t) 恒为正值

f(t) = t^2 - 2*[(k+1)/2]x + [(k+1)/2]^2 - [(k+1)/2]^2 + 2
= [t - (k+1)/2]^2 + [8 - (k+1)^2]/4

f(t) 是 以 t = (k+1)/2 为对称轴, 以 [8 - (k+1)^2]/4 为最小值的 开口向上的抛物线

为保证 t>0 时, f(t) 恒为正, 则要求

1) 最小值 大于0
或者
2) 最小值小于0, 但是 对称轴 在 t < 0 范围, 且 f(0) ≥0

对于情况 1), 则

8 - (k+1)^2 > 0
-1 - 2√2 < k < -1 + 2√2

对于情况 2) 则要求
(k+1)/2 < 0
f(0) = 2 > 0

解出 k < -1

取以上两个解的并集, 则
k < -1 + 2√2