求一个最小的自然数，乘2是一个完全平方数，乘3是一个完全立方数，乘5是一个完全五次方数。

呵呵0除外。。。

首先，这个数含有因数2，3，5
乘2是个完全平方数，那么3和5的幂数一定是2的倍数，且2的幂数为奇数
乘3是个完全立方数，那么2和5的幂数一定是3的倍数，且3的幂数为3的倍数减1
乘5是个完全5次方数，那么2和3的幂数一定是5的倍数，且5的幂数为5的倍数减1
综合一下，
2的幂数是3和5的倍数，且为奇数，最小为15
3的幂数为2和5的倍数，且为3的倍数减1，最小为20
5的幂数为2和3的倍数，且为5的倍数减1，最小为24
所以所求最小的自然数为：
2^15*3^20*5^24

2*（2*完全平方数）＝完全平方数
3*（3*3*完全立方数）＝完全立方数
5*（5*5*5*5*完全5次方数）＝完全5次方数。
所以这个数是2的15次方*3的20次方*5的24次方。

设这个数为X.
则2X=a^2
3X=b^3
5X=c^5

为了使X最小
所以我们可以先给X加一个质因数2(因为2*2=4 是一个平方数)

接着 我们可以给X再加2个3 但是第1个条件就无法满足
所以 我们用3个2(2*2*2*2*3*3是一个平方数 而2*2*2*3*3*3也一定是一个3次方数)

最后 还需要24个5 此时还需要找到满足的2的个数(只有3*5=15)
和3的个数(只有20)

所以 此数为5^24*2^15*3^20=357046722662400000

仅供参考

设X=2^a*3^b*5^c,则
2X=2^(a+1)*3^b*5^c,
3X=2^a*3^(b+1)*5^c,
5X=2^a*3^b*5^(c+1),
2X是完全平方数,当且仅当a+1,b,c是偶数,即a+1,b,c能被2整除
3X是完全立方数,当且仅当a,b+1,c能被3整除,
5X是完全五次方数,当且仅当a,b,c+1能被5整除,
故a能被3,5整除,但被2除余1,满足条件最小的a=15,<