初等数论第4次作业 数学论述题 请看一下 谢谢

1。论述题 求2545与360的最大公约数。
解：(2545,360)
=(2545-360*7,360)=(125,360)
=(125,360-125*3)=(125,-15)[注意：可以使用负数以便计算]
=(125-15*8,-15)=(5,-15)
=5
事实上，算到(125,360)时就可以怎出结果来了。360=5*72，125=5*5*5

2。论述题 证明：设m, n为整数，求证m+n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
引理：素p|a1*...*an,则p|a1或...或p|an.证略。
证：据引理，只须证X=(m+n)(m-n)mn=mn(mm-nn)==0 mod 3
若m==0mod3,显然。
若m==1mod3,X==n(1-nn)=-(n-1)n(n+1)==0mod3,显然。
若m==-1mod3,X==-n(1-nn)==0mod3,显然。
得证。

3。论述题 设n是正整数，证明6| n(n + 1)(2n + 1)。
引理：(p,q)=1,p|a,q|a，则pq|a
证：
记X= n(n + 1)(2n + 1).
2|n(n+1)，显然。从而2|X
当n=0,-1,1mod 3时，均有X==0mod3,即对于任意n,3|X
依引理，(2*3)|X.得证。

一题应该是 5 吧