英语和汉语都有所谓两个动词吗?

不是的。

英语中，任何一句话都只可能有一个动词

want 是动词，play 也是动词，但是want表意先于play，所以，play前加to，用不定式，将play game变成状语

补充，应该是He wants to play game. 要主谓搭配一致。

汉语里对动词数量没有限制。
英语里一句话只能有一个 独立使用 的动词，其它动词必须变形。
这句话中是want。 后面的play虽然也是动词，但是它要变形。不能单独使用。所以变成了to play.

因为句子中是不可能同时出现二个谓语动词的，。要么另外一个动词就要变为动名词，要么后面是要跟介词。
但这句话中want to do sth 想要做什么，是个固定搭配。。