两次项系数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 02:45:30
（x-√2）的2006次幂的二次展开式中，含X的奇次幂的所有项的和为S，当x=√2时，S等于多少？

第k项是C2006(k-1)*x^(2006-k+1)*(-√2)^(k-1)
x的奇次幂则k是偶数,k-1是奇数
C2006(k-1)*x^(2007-k)*(-√2)^(k-1)
x=√2
所以=-C2006(k-1)*(√2)^(2007-k+k-1)=-C2006(k-1)*2^1003
=-2^1003*[C2006(1)+C2006(3)+……+C2006(2005)

(1+1)^2006=C2006(0)+C2006(1)+……+C2006(2005)+C2006(2006)
(1-1)^2006=C2006(0)-C2006(1)+……-C2006(2005)+C2006(2006)
相减
2^2006-0^2006=2*[[C2006(1)+C2006(3)+……+C2006(2005)]
所以[C2006(1)+C2006(3)+……+C2006(2005)=2^2006/2=2^2005
所以S=-2^1003*2^2005=-2^3008