高数: 如何理解复变函数的"紧性"

我们在学实数理论时学到了有限覆盖引理，即：任意一个闭区间的开覆盖，都可以从中挑出有限个开区间来形成有限覆盖。
闭区间就是一个最简单的紧集。

好了，下面考虑一个二维的集合，不妨想象是平面上的一个区域。
容易知道，一个有界闭区域拥有有限开覆盖，所以有界闭区域是紧集。

那么考虑任意维的欧氏空间，可以证明（略），在有限维的欧氏空间中，有界闭集都是紧集，紧集都是有界闭集。其定义是，“用任意一族开集去将这个有界闭集盖住，都能从这些开集中选出有限个，使得这有限个开集仍能将这个有界闭集盖住。”

一个不是紧集的例子：无限维单位球面
无限维单位球面定义为\sum x[i]^2 = 1，其中i从1取到无穷。
显然，以下点列都在这个球面上：
(1, 0, 0, ....)(0, 1, 0, ....)(0, 0, 1, ....)......
但是它们根本不存在极限点，所以这个球面当然不是紧的（连闭集都不是）。

如果对象换成一个拓扑空间，只要定义了它上面的拓扑（即开集），那么一个集合是不是紧集只要看它有没有有限开覆盖就可以了。

什么是拓扑空间？就是给一个抽象集合定义了子集类之后形成的东西。数学家们说“我们研究的是集合”，但是光给一个集合，什么都不知道是没法做数学的。给集合中的元素定义了“什么是这个元素附近的元素”（即邻域、开集等概念）之后，这个集合就变成了拓扑空间。所定义的“开集”等东西就叫拓扑。

复变中用到的紧集基本上限于二维平面（或者二维球壳），所以不用考虑那么多。