UC知道一个难题，高分
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 05:24:33
求
(1)动点N的轨迹C
(2)过点T(-1,0)作直线l，与轨迹C交于两点A，B，问在x轴上是否存在一点D，使三角形ABD是等边三角形，若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由
不好意思啊，漏了
第一句是 已知定点M(-3,0),
有两人对了，还是投票解决吧
第一小题：
设P（0,y0）,Q(x0,0)，N(x,y),
向量QN=(x0-x,-y),NP=(x,y-y0),
因为QN/NP=-2/3，所以解得N（3x0,2y0)。
因为MP垂直于PQ，
所以根据这两个向量的内积为零有3*x0-y0*y0=0，
由此可以得到，y0^2=3*x0,
带入x，y，
可以得到y^2=4*x,
这就是动点N的轨迹，是以x轴为对称轴的抛物线，所有点都在一、三象限。
有一点要去除，因为，那就是（0，0），因为此时x0，y0都为0，PQ为一点，
不满足题意。
第二小题：
显然A、B必在同一象限，要么在一象限，要么在三象限，
因为轨迹C的对称性，
所以不妨假设它们都在第一象限。
设A（x1,y1）,B(x2,y2)。
因为A、B在轨迹C上，A、B、T在同一直线上。
可得到以下三个方程：
y1^2=4*x1，y2^2=4*x2，(x1+1)*y2=(x2+1)y1；
这三个方程化简后，其他变量全用y1来表示得：
x1=y1^2/4，x2=4/y1^2，y2=4/y1；
A、B中点设为E((x1+y1)/2,(x2+y2)/2)，
设D（x，0），
因为TE垂直于ED（假设D存在），
向量TE和ED内积为0。
可得一方程，
并用y1替换x1，x2，y2，
设y=y1*y1，
化简得：
x=(y+4)*(y+4)/(8*y)+1, ............(1)
又因为AD=AB，这样可以列另一个方程，
并用y1替换x1，x2，y2，用y代替x和y1，
可以得到四次方程:
3*y^4+32*y^3-864*y^2+512*y+768=0...........(2)
若y有有理根，则必为整数或者分母为3的分数。（离散数学知识）
令方程左边为f(y),
f(1)>0,f(2)<0
所以1，2之间有一个根，
若为有理根，只能是4/3或