UC知道根据递推关系式求通项公式
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 14:13:32
在解决递推a(n)=n*a(n-1)-n+1时(a(1)=3)，化成
a(n)-1=n*[a(n-1)-1]
令b(n)=a(n)-1,
则b(n)/b(n-1)=n
b(n)=[b(n)/b(n-1)]*[b(n-1)/b(n-2)]*...*{b(2)/b(1)]*b(1)=2*n!
因此a(n)=2*n!+1
但如果递推关系为a(n)=n*a(n-1)-n+2， (a(1)=3)时，又应该如何求通项公式？请给出具体方法，谢谢！
它是有原题的，它表示至少a(n)个点之间的连线用n种不同颜色染色才能出现同色三角形
（如果有多种方法，希望都写出来，每种方法追加10分）
a(n)-1=n*[a(n-1)-1]
令b(n)=a(n)-1,
则b(n)/b(n-1)=n
b(n)=[b(n)/b(n-1)]*[b(n-1)/b(n-2)]*...*{b(2)/b(1)]*b(1)=2*n!
因此a(n)=2*n!+1
但如果递推关系为a(n)=n*a(n-1)-n+2， (a(1)=3)时，又应该如何求通项公式？请给出具体方法，谢谢！
它是有原题的，它表示至少a(n)个点之间的连线用n种不同颜色染色才能出现同色三角形
（如果有多种方法，希望都写出来，每种方法追加10分）
由于书写不便，下标k从1到n对f(n)求和记为∑{k;1:n}f(k),
即 ∑{k;1:n}f(k)=f(1)+f(2)+...+f(n).
规定0！=1，则a(n)=1+∑{k;0:n}n!/k!.
方法一：数学归纳法。将上面结果带入递推式即可。
方法二：（这种方法适合在草纸上求出a(n)的通项）设b(n)=a(n)-1，则
b(n)=nb(n-1)+1,b(1)=2.于是
b(n) = nb(n-1)+1 ……“n式”
b(n-1)=(n-1)b(n-2)+1……“n-1式”
…………
b(2)=2b(1)+1 ……“2式”
b(1)=2 ……“1式”
做和式∑{k;1:n}“k式”*n!/k! ……（*）
消去（*）式中的b(n-1),b(n-2)……b(2),并将b(1)=2带入即可。
a(n)=n*a(n-1)-n+2用此方法应该解不出来，因为出题不是随意的，一般是选择了特殊情况，稍微换下条件，题可能会变成无解。我猜测这个题不是原题中带的，而是你临时改的，对不？