高考数学问题:正方形A1BA2C的连长为4,D是A1B的中点

1,正方形A1BA2C的连长为4,D是A1B的中点,E是BA2上点,将三角形A1DC及三角形A2EC分别沿DC和EC折起,使A2,A1重合于A,且二面角A-DC-E

为直二面角

(1)求证:CD⊥DE

(2)求AE与平面DEC所成角的正弦值

(3)求D点到平面AEC的距离

最好解析一下

1、在未折叠之前的平面图上，A1的射影应在CD的垂足上，作AQ⊥CG、D，交CD于Q，要保证A1和A2重合，CE折叠线应与AQ相垂直，故连结A2Q，再作CE⊥AQ，交AQ于P，设A1C=a,A1D=a/2,CD=√5a/2,设 <ACD=α,sinα=√5/5,cosα=2√5/5

A1Q*CD=A1D*A1C,A1Q=√5/5a,CQ=2√5a/5,DQ=√5a/10,在三角形CPA2中,根据余弦定理,A2Q^2=CQ^2+A2C^2-2CQ*A2Ccos<A2CQ,cos<A2CQsinα=√5/5,A2Q=a,CP⊥

A2Q,CP*A2Q=CQ*A2C*sin<ACQ,CP=4a/5,A2C^2=CP*EC,EC=5a/4,

PE=CE-EP=9a/20,A2E^2=PE*CE,A2E=3a/4,

BE=A2EB-A2E=a-3a/4=a/4,DE=√[(a/4)^2+(a/2)^2]=√5a/4,CD^2+DE^2

=(√5a/2)^2+(√5a/4)^2=25a^2/16,CE^2=25a^2/16,根据勾股定理逆定理,三角形CDE是直角三角形,∴CD⊥DE.

2、QP^2=CQ^2-CP^2,QP=3a/5,QE^2=QP^2+PE^2,QE=3a/4,

A1E=√A1Q^2+QE^2=√305a/20,sin<A1EQ=A1Q/A1E=√5/5a/(√305a/20)=4/√61

3、三棱锥体积V=S△CDE*A1Q/2*A1Q/3=√5a^3/48,

S△ACE=A2C*EA2/2=a*3a/4/2=3a^2/8

设D至平面ACE的距离为d,三棱锥体积V=S△ACE*d/3=3a^2/8*(d/3)=√5a^3/48

d=√5a/6,a=4,d=2√5/3