初中奥数，有3n个女生......

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 00:14:06
有3n个女生,每天3人值班,结束时发现任意两位在同一天值班一次;
(1)当n=3时,是否能满足上述安排
(2)证明n为奇数

(1)解:当n=3时,即有9个女生.
可分别设为:A、B、C、D、E、F、G、H、I
题目说，任意两位在同一天值班一次，也就是说，当我们以A为中心，ABC为一组搭档，那么下一次A就不能再与BC搭档，此时，可以与A搭档的有ADE，AFG，AHI，当我们以其他字母为中心时，与A同理。
所以，当n=3时，能满足上述安排。
（2）求证：顺着上题的思路，我们可以假设一个单位“1”（这里的单位“1”指一个女生）一组搭档三个人，那么除这个女生外，她的另两个搭档总数为(3n-1)/2,其中3n-1/2要能被2整除，否则，无法满足题意，n为奇数，即n=2k+1(k是正整数），3n-1/2=3(2k+1)-1/2，化解可得：6k+3-1/2=3k+1，刚好能整除，若n为偶数，即n=2k,3n-1/2=3*2k-1/2=3k-(1/2),显然不能被2整除，所以n只能为奇数。

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