若P是双曲线Y=K/X(K大于0,X大于0)一上点,分别过P向X轴、Y轴作垂线,垂足分别为M、N。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 15:45:47
试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？

P在双曲线上的任意一点，四边形的面积为定值K
因为面积相等的四边形中正方形周长最小，所以X=Y
X^2=K X=根号K
所以周长为4根号K

设：OM长X 则ON长K/X
当Comnp最小时有：X+K/X最小
即有解析式：y=x+k/x
求其最小值
即y=x；y=k/x的和的最小值
因为当X越大时，K/x越小；而X^2/X的增量大于K/x的减量
且当X越小时，K/x越大；而X^2/X的减量小于K/x的增量
故当X=K/X时有最小值
即X=根K
此时OM=根K=ON
故周长为2（OM+ON）=4倍根K

周长=2*(X+Y)≥2*2根号(X*Y)=4*根号K
此时X=Y,即P在直线Y=X上
最小值(4*根号K)