Kahan's Summation Formula为什么能提高计算精度

#include <stdio.h>
int main(int argc, char* argv[])
{
int i;
float x=0.001f;
float y;
float t;
float sum;
float eps=0;

printf("\n理论值：%f\n",x*1000000);

sum=0.0f;
for(i=0;i<1000000;i++)
{
sum+=x;
}
printf("\n累加值：%f\n",sum);

sum=0.0f;
for(i=0;i<1000000;i++)
{
y=x-eps;
t=sum+y;
eps=(t-sum)-y;
sum=t;
}
printf("\nKahan累加值：%f\n",sum);

return 0;
}

对于N个0.001，普通方法累加到991左右就已经丢失精度了。可以看到用“Kahan method”能够得到近乎于理论的精度数值。分析一下他的原理。我们发现，如果没有精度损失，eps永远为0，y就是ELEMENT=0.001。一旦在 i 到了某个数值出现了大数吃小数 的情形时，不妨激进的设小数部分全部被截断，则如s = 991.0000时，由于eps之前为0，则y=0.0010.之后t=s+y，得到的就是“吃掉”的结果，如991.0000，绝对误差达0.001.此时：eps=(t-s)-y=(991.0000-991.0000)-0.0010=-0.001，可见eps起了保存“损失位”的作用。此时s=t=991.0000.下个循环：y = 0.001--0.001=0.002，t = s+y=991.0000，eps=-0.002，如此反复，这样足够多循环后，eps足可以复现大的校正值，从而保证结果的高精度。当eps足够大时候，(t-s