我国古代数学的“算法”中可以与欧几里得"辗转相除法“相媲美的是

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1 中国剩余定理 同余方程组的整数解
2 更相减损术 两整数的最大公约数（同 欧几里得算法）
3 割圆术 计算pai（利用正多边形逼近圆）
4 秦九韶算法 将具体值代入一元多项式的一种优化算法

更相减损术
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。

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更相减损术和辗转相除法的原理是一样的

上面说的比较清楚啦。我谈点感受：
中国剩余定理是关于同余的理论，很难一两句话说清除（有兴趣可以看看数论的内容）。
割圆术是反映一维极限的思想，作为微积分的起源理论。
欧几里得算法还是很重要的，比如求最大公约数。