跪谢！！请教一个对称矩阵的特征向量的问题。高手请进。

假设 c 是对称实方矩阵 A 的 r 重特征值，则有 r 个线性无关的特征向量 x(1), ..., x(r) 是属于特征值 c 的。也就是说，

A x(1) = c x(1), ..., A x(r) = c x(r)

现在我们用 W 表示由向量 x(1), ..., x(r) 生成的子空间，则 W 是 r 维的。W 中任意向量 x 可以表示为 x = d(1) x(1) + ... + d(r) x(r)，其中 d(1), ..., d(r)为实数。则

A x = A (d(1) x(1) + ... + d(r) x(r))
= d(1) A x(1) + ... + d(r) A x(r)
= c (d(1) x(1) + ... + d(r) x(r))
= c x.

这就是说，W 中任意一个非零向量都是 A 的属于特征值 c 的特征向量。

因为向量 x(1), ..., x(r) 属于 W，所以将它们正交化和归一化后，得到的向量 y(1), ..., y(r) 仍然属于 W。因此 y(1), ..., y(r) 仍然是 A 的属于特征值 c 的特征向量。

注：实际上 W 有个名称叫属于特征值 c 的特征子空间。它是线性方程组 (cI-A)x=0的解空间，由此显然可见 W 中每个向量都是属于同一特征值 c 的特征向量。而正交化和归一化，都不会超出同一子空间的范围，所以不会造成所谓的“面目全非”。

为什么还是这个我也不太明白啊 不过考试不会让你做简答题 首先知道算法最关键 啊 一般考试重点都会是 求特征向量和特征值 然后让你正交化就没有了
不好意思 我答非所问 不过希望对你有所帮助

你求得的这R个特征向量组成一个空间解系。在这个空间解系中的任意一个向量均是方程的解。而施密特正交换，只是把这个空间的坐标变化了一下，使得由你求的的这R个向量代表的基，转化为由正交的基表示。就如直接坐标转换成极坐标一样，实质是不变的。所以仍然是方程的解向量。