翻卡片 类比

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 22:05:04
50张卡片，写着1~50 50个数字，正反两面数字相同颜色不同，一面红，一面蓝，老师让50位学生按自己学号翻，只要卡片是自己学号的倍数，就翻过来

算，翻完后，红色卡片朝上的有几张。。。。。
小学题目，，，难死了
可以追加~~

题目不全面：开始的时候是哪面朝上啊。
还有：是不是每个学生要对所有卡片检查一遍啊。

思路：所有被翻动偶数次的将回到原始状态，被翻动奇数次的将变动状态。问题等价于求1-50间所有数的约数的个数是奇数还是偶数。
对1-50的所有数进行质因数分解，对于素数P，只有两个约数（1和P本身，分别被1号与P号学生翻）,将被翻2次回到初始状态，合数Q=a1*a2*a3***an(ai为素数且各不相同）将被翻2^(n-1)次也将回到原始状态，当Q的约数中有ai=aj时(其他约数各不相同)，则将被翻动(2^2-1)*2^(n-3)=3*2^(n-3)次，仅当n=3时得数为奇数。
事实上只有平方数被翻动了奇数次，则只有1、4、9、16、25、36、49号这7张卡片变动了状态。

原本是蓝面朝上

翻的次数如果是偶数就会回到蓝色
理论上乘积要两个数相乘 可是平方数却是例外 只算一次
所以只有平方数是翻奇数次
50以内平方数只有7个
所以就1 4 9 16 25 36 49 是红色