证明G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0<=>点G是三角形ABC的重心

取BC中点D，连结并延长GD至E，使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线
而D在GE上, ∴A、G、D三点共线
而点D又是BC中点, ∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线，CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心

重心分每条中线成2：1

GA=1/3*(BA+CA)
GB=1/3*(AB+CB)
GC=1/3*(AC+BC)
GA+GB+GC=0

反证法，设G不是重心且GA+GB+GC=0，则设F是重心
由上得FA+FB+FC=0
GA+GB+GC=3GF+FA+FB+FC=3GF=0
所以GF=0，G还是重心