f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(0)=2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 22:53:15
已知函数f(x)是实数集R上的函数，且对任意x属于R，f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立,且f(0)=2。则f(x)是周期函数吗？你能求出f(2010)的值吗？

左右交换
f(x+1)+f(x-1)=f(x)-------------@1
设x=x+1
f(x+1)=f（x+2）+（x）------------------@2

@1-@2=f(x-1)=-f(x+2)

f(x)=-f(x+3)------@3

推出f(x+3)=-f(x+6)------@4

由3和4得f(x)=f(x+6) 周期函数 T=6

f(2010)=（6的370倍）=f(0)=2

是周期函数
f(x)=f(x+1)+f(x-1)=f(x)+f(x+2)+f(x-1)
于是f(x+2)+f(x-1)=0，也就是说f(x)+f(x+3)=0
f(x)=-f(x+3)=f(x+6),T=6是他的周期
f(2010)=f(370×6)=f(0)=2