On (a) recent trip ,he visited(a )relative he doesn't know very well,one of his distant aunts.

此处虽然都能够确定所指，但是仍然必须用 a 。
原因是recent 和 very 都不是最高级。定冠词必须有明确的指示才能使用。否则尽管已经能够确定也不可以。

这两个空都考同样的知识，由于其都不是特指，通俗点就是“一个（次）”而不是“那个（次）”，明白了吗？

a 是不定冠词，表示一个，the是定冠词，表示这个、那个。把句子翻译一下，就知道为什么了。
在近期的一次旅行中，他拜访了一个他并不是很熟悉的远房姑姑。

the 一般是特指的，或是前面有提到的。在或者是最高级一定要用the