试用3种不同的方法证明ac+bd≤√(a2+b2)(c2+d2).
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/05 19:56:51
已知a,b, c,d∈R,( √表示后面的开根号 题中的2表示平方)
[证法1] (比较法)
(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2-(a2c2+a2d2+b2c 2+b2d2)
=-(a2d2-2abcd+b2c 2)
=-(ad-bc)2≤0(当ad=bc时取等号,以下同).
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
[证法2] (构造二次函数法)
令函数f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2),
则f(x)=a2x2-2acx+c2+b2x2-2bdx+d2
=(ax-c)2+(bx-d)2≥0.
又知二次系数大于0,故
△=4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0.
∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
[证法3] (三角代换法)
设a=mcosα ,c=ncos β,则
b=msin α,d=nsinβ ,从而
(ac+bd)2=m2n2cos2(α -β )≤m2n2=(a2+b2)(c2+d2).
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
佩服
试用3种不同的方法证明ac+bd≤√(a2+b2)(c2+d2).
勾股定理的三种不同证明方法
试用三种方法证明:a=bcosC+ccosB,b=acosB+ccosA,c=acosB+bcosA.
bang xia试用三种方法证明:a=bcosC+ccosB,b=acosB+ccosA,c=acosB+bcosA.
点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?试用两种方法说明理由
用11种方法证明柯西定理:(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
已知圆上的三点a(1,2)b(-1,0)c(0,-根号3),试用2种方法求圆的方程
如何证明a^3+b^3+c^3>=ba^2+ab^2+ac^2
证明a3+b3+c3-3ac=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
以知a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac 证明a=b=c +b2+c2=ab+bc+ac 证明a=b=c