证明另一条不等式

这道题应该这样做，原不等式就等价于：
alna+blnb-(a+b)ln(a+b)+(a+b)ln2>=0
<=>alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]>=0

构造函数f(x)=xlnx+blnb-(x+b)ln[(x+b)/2]
其导数f'(x)=lnx+1-(ln[(x+b)/2]+1)=ln[2x/(x+b)]
显然可以解得当x∈(0,b)时f'(x)<0
当x∈(b,+∞)时，f'(x)>0
所以f(x),在(0,b)上单调递减，在(b,+∞)上单调递增，所以x=b处f(x)取到最小值。
所以在(0,+∞)上恒有f(x)>=f(b)=0｛该式对任意的b都成立。｝
所以也必有f(a)>=0
也即alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]>=0

证毕.

事实上，本题中a,b是对称的正是因为a,b对称，所以可以固定其中一个变量（事实上这个变量也是可以取任意值的，也就是说我们证明了对任意取值的b，原式都成立），这种证明方法叫做局部固定法，固定其中一个变量，如果在另一个变量运动的同时，这个式子恒成立，则可说明原式成立该式成立，因为本题a,b对称，我还没有写完，同理可证若假设a不动，b设为x，上式成立..

好吧，把证明过程补完：
同理可设f(x)=xlnx+alna-(x+a)ln[(x+a)/2]
同样方发可证上式f(x)>=f(a)=0
上式对任意的a都成立

于是f(b)>=f(a)=0

综合以上两个方面，alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]>=0成立

对于(2a/a+b)^a>=(a+b/2b)^b，我想应该是：
[2a/(a+b)]^a>=[(a+b)/2b]^b吧。
这个式子要如果要用二项式定理展开不见得好，至少我做得很繁，而且按照常理，对于指数不等式的证明一般思路都是取对数，把复杂问题简单化，而他的做法把对数给去