高考理综全国二卷物理第26题的详细过程

26. (21分)
如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为 ；石油密度远小于 ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1） 设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径）， =x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常
（2） 若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在 与 （k>1）之间变
化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
答案（1）
（2） ,

【解析】本题考查万有引力部分的知识.
(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 ………①来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量, ……………②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离 ………③ 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常 是这一改变在竖直方向上的投影 ………④联立以上式子得
,…………⑤
(2)由⑤式得,重力加速度反常 的最大值和最小值分别为 ……⑥
……………⑦由提设有 、 ……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

：（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
GMm/r2 =m△g①来计算，式中的m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q点的距离r= (d^2+x^2 )^0.5