一道积分极限证明题

将1√n乘入，原式左边=1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)

我们的目标是求极限：lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}

对照定积分的定义，令Δxi=1/n,xi=i/n，f(x)=1/√x,积分区间为[1,2]

所以lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}=∫{1,2}{(1/√x)dx}=2√x|{1，2}=2√2-2

所以lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=2(√2-1)

证毕。 

如果上面过程看得太累，可以看看下图：