数学归纳法的一些题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 09:08:35
已知y=f(x) 满足f(n-1)=f(n)-lga^n-1(n大于等于2 n属于N),且f(1)=-lga ,是否存在实数p,q.使f(n)=(pn^2+qn-1)lga对任何n属于N*都成立?证明结论

f(n-1)=f(n)-lg[a^(n-1)]=f(n)-(n-1)lga
移项得f(n)=f(n-1)+(n-1)lga.写n-1个式子:
f(n)=f(n-1)+(n-1)lga
f(n-1)=f(n-2)+(n-2)lga
...
f(2)=f(1)+lga
全部加起来,中间的很多f(**)都消掉了.成为
f(n)=f(1)+(lga)*(1+2+3+...+(n-1))
=(lga)*[n*(n-1)/2-1]=(lga)(nn/2-n/2-1)
把n=1代入,也成立.因此这就是f(n)的表达式
那么只需A=1/2,B=-1/2,题目所述的就是一个恒等式