整系数方程有理根的判定定理

定理：若形如a0x^n+a1x^n-1+…+an-1x+an=0（其中，a0,a1,…,an均为整数）的方程有有理根，则其有理根为有理数p/q（其中p为an的约数,q为a0的约数，且p,q互质）。
证明：若方程a0x^n+a1x^n-1+…+an-1x+an=0（其中，a0,a1,…,an均为整数）其有理根p/q（p,q互质），则方程一定可分解为如下形式：
(qx-p)(b1x^n-1+…+bn-1x+bn)=0（其中，b1,b2,…,bn均为整数）
展开后得：qb1x^n+(qb2-pb1)x^n-1+…+(qbn-pbn-1)x-pbn=0
与原方程比较系数，得：a0=qb1,an=-pbn,
因此，p为an的约数,q为a0的约数（证毕）

如果已知一个有理数p/q（p,q互质），要找到一个整系数方程有有理根p/q，最简单的就是一次方程：qx-p=0
复杂一点，就是n次方程：qb1x^n+(qb2-pb1)x^n-1+…+(qbn-pbn-1)x-pbn=0