函数奇偶性与周期性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 05:05:45
1.若f(x)关于x=a与x=b对称（a小于b），则它是周期函数，周期为——
若f(x)关于x=a同时与(b,0)对称（b不为0），则它周期为——
若f(x)关于(a,0)同时与(b,0)对称,则它周期为——
2.周期函数不一定有最小正周期，为什么？
3.loga[（1-x）/(1+x)]
loga[x+√(x2+1)]这两个函数的奇偶性
（麻烦给出详细过程或理由)
O(∩_∩)O谢谢 （下图是3的两个函数）

1、
1>
f(x)关于x=a对称（轴对称）
=>
f(a-x)=f(a+x)
=>
f(a-x)=f(2a-(a-x))
=>
f(x)=f(2a-x)
同理可得
f(x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))
=>
f(x)=f(x+(2b-2a))
=>
周期T=绝对值（2b-2a）=2b-2a

2>
f(x)关于(b,0)对称（点对称）
=>
f(b+x)=-f(b-x)
=>
f(x)=-f(2b-x)
=>
f(2a-x)=-f(2b-(2a-x))=-f(x+(2b-2a))
又
f(x)=f(2a-x)
=>
f(x)=-f(x+(2b-2a))
=>
f(x+(2b-2a))=-f((x+2b-2a)+(2b-2a))
=>
-f(x+2b-2a)=f(x+4b-4a)
=>
f(x)=f(x+(4b-4a))
=>
周期T=4b-4a

3>
由2>易知
f(x)=-f(2a-x)
以及
f(x)=-f(2b-x)
=>
-f(2a-x)=-f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f(2b-x)
=>
f(2a-x)=f((2a-x)+(2b-2a))
=>
f(x)=f(x+(2b-2a))
=>
周期T=绝对值（2b-2a）=2b-2a

2、周期函数不一定有最小正周期，为什么？
一般，对周期函数的最主要性质的概括就是
f(x)=f(x+T).