UC知道质量分布均匀的半圆薄块的重心计算
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/30 05:39:37
然后知道了一条直线，由物理方法，再找到另外一个悬挂点的重垂涎，然后这2条线的交点就是它的中心。
半圆的边和圆弧有2个交点，选择其中任意一个，作半圆的割线，割线分半圆为2部分，如果这2部分面积一样，那么这条线就是那个点的铅直线。因为质量密度一样，那么面积一样，就代表质量一样。
如果圆的方程表达式为x^2+y^2=R^2，而半圆取y>=0的部分的话。
这条割线会与圆弧相交，以割线与圆弧的交点的横坐标为分割点，左边进行积分，或者直接用3角形的面积公式算；右边则必须通过对y=√（R^2-x^2)进行积分来得到答案，然后这个值必须等于半圆面积的一半，πR^2/4。之后求出这条割线的函数表达式，他和y轴的交点，就是重心。
或者用极坐标也可以算，那么，有人能帮我算算吗？[最后得到的是一个与半径R有关的函数表达式来表示重心离圆心的距离]
其实换个思路，如果设割线与半圆圆弧的交点与圆心连线和x轴夹a角，那半圆一半的面积也可以分割成1个三角形和一个扇形组合起来。
从而列出方程a+2sina=π/2。而求得a的度数的话，也同样可以得到重垂线的方程，那么也能求得中心。
什么意思啊？
假设半圆ABC的重心是G，连接AG交半圆于D，连接OD。∠DOB=2∠DAB=2θ。
由于半圆是均匀的，且由于G是重心，所以图中绿色部分的面积和紫色部分面积是相等的！
绿色部分面积=扇形OAD的面积-SΔDOA=πr²[(π-2θ)/2π]-0.5r²sin(π-2θ)=0.5r²[(π-2θ)-sin(π-2θ)]
紫色部分面积=扇形OBD的面积+SΔDOA=πr²(2θ/2π)+0.5r²sin(π-2θ)=0.5r²[2θ+sin(π-2θ)]
也就是说：0.5r²[(π-2θ)-sin(π-2θ)]=0.5r²[2θ+sin(π-2θ)]
即：π-2θ-sin(π-2θ)=2θ+sin(π-2θ)
∴π-4θ=2sin2θ，解之：θ≈23.9°
OG=tgθ·r≈tg23.9°·r≈0.443139r。
换句话说，就是假如以OC为y轴，BA为x轴建立坐标系且⊙O半径r=1的话，G的坐标就是G(0,0.443139)。
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