222.......22（2003个2）除以7的余数是多少？

解：设a=222.......22(2003个2）,2003=6*333+5

由被7整除的余数特征有
a≡22-222+222-222+222-222+……+222-222(333个222-222)≡22-222≡-200≡-4≡3(mod7)
所以a除以7余数为3

另解：a=2*(1+10+10^2+10^3+……+10^2002)
1≡1(mod7),10≡3(mod7),10^2≡2(mod3),10^3≡-1(mod7),10^4≡-3(mod7),10^5≡-2(mod3)，他们余数之和为1+3+2-1-3-2=0,所以连续六个一组后余数都是0,这样
最后剩下4(2002=6*333+4)项余数和为1+3+2-1=5,2*5=10除以7余数为3
所以a除以7余数为3

是奥数，还是高中的题？
用高中做法哦，不懂再问哦，好变态的数字啊
此为2为首项，10为公比的等比数列的和
所以Sn=2*（1-10的2002次）/9=2*[1-10*(9+1)的2001次]/9=2*(1-10-10*9N)/9{N为自然数，意思为九的倍数}
如果看得懂回一下，懂了我继续

222222=222*1001=222*7*11*13 即6个2(222222)能被7整除.
2003/6=333....余5 这样

222...22(2003个2)≡22222 (mod7)

22222/7=3174....4

余数是4

余数是3.
先找规律，发现222222（6个2）除以7正好为31746，在3前添一个0补位，为031746.也就是222222对应031746.2003个2包含333组这样的222222，还剩下5个2.也就是前1998个2（333组222222）整除了7，那么余数只和剩下的22222有关。算一下得出结果余数是3.
P.S.:可能比较麻烦哈~