设函数f(x)=（1/3）x^3-(1+a)x^2+4ax+24a其中常数a>1

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/24 12:22:43

若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围

f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
a>1,2a>2
所以x<2,x>2a,f'(x)>0,增函数
2<x<2a,f'(x)<0,减函数
所以x=2是极大值，x=2a是极小值

所以最小值在极小值点或边界取到
所以x=0和x=2a时，只要f(x)>0即可
f(0)=24a>=0,a>0
f(2a)=(-4/3)a^3+4a^2+24a>0
a^3-3a^2-18a<0
a(a-6)(a+3)<0
a<-3,0<a<6

综上
1<a<6

由已知f(x)单调增。
要f(x)为正，只要f(0)>0.
即24a>0.
综上所述，a>1.

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