怎样证明有界无穷序列至少有一个聚点？

楼上说法其实不对。上确界未必是聚点。
这是Bolzano-Weiestrass定理在实数上的特例。原定理说的是在列紧集中的无穷序列必有聚点。
证明的思路其实很简单。数列在某个区间[a,b]中，随便在数列中选一项，设为x，那么这一项后面还有无穷多项就被分配在[a,x]和[x,b]两个区间中，那么，因为有无穷多项，所以两个区间中必定有一个含有这数列的无穷多项，设这个区间是[a',b']，然后可以递归地选取数列中的元素，明显构成一个子数列。然后根据闭区间套定理，这个子数列收敛，收敛处就是原来数列的一个聚点。

果然...偶错鸟