UC知道跪求解二维随机变量函数问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 17:12:39
设(X,Y)在D={(x,y)|0<=x<=2,0<=y<=2}上服从均匀分布，求U=（X+Y）² 的概率密度。
以下解法错在哪儿？还是没错？结果跟答案不一样
∵U=（X+Y）² ∴Y=√U-X //“√”为根号
由0<=√U-X<=2
∴X²<=U<=(X+2)²
求边缘概率对x积分
由f(x,y)=1/4知f(x,√U-X)=1/4有
√U 2
f(U)=∫ 1/4 dx= √U/4 (0<=U<=4) f(U)=∫ 1/4 dx=1- √U/4 (4<U<=16)
0 √U-2
其它为f(U)=0
答案是1/8（U:0～4）和1/（2√U）-1/8（U：4～16）
以下解法错在哪儿？还是没错？结果跟答案不一样
∵U=（X+Y）² ∴Y=√U-X //“√”为根号
由0<=√U-X<=2
∴X²<=U<=(X+2)²
求边缘概率对x积分
由f(x,y)=1/4知f(x,√U-X)=1/4有
√U 2
f(U)=∫ 1/4 dx= √U/4 (0<=U<=4) f(U)=∫ 1/4 dx=1- √U/4 (4<U<=16)
0 √U-2
其它为f(U)=0
答案是1/8（U:0～4）和1/（2√U）-1/8（U：4～16）
你最后一个式子写的有点乱，不过前面已经有一个错误了，就是由f(x,√U-X)=1/4不能直接求边缘密度的，因为f(U)是关于X,Y的，如果想求边缘密度要用关于X，U的，要多乘一个变换的雅克比
X=X
U=（X+Y）² ，那么这个变换的Jocobi为J=1/（2√U）
所以联合密度为p（x，u）=1/4×1/（2√U）=1/（8/√U），这里有
0≤x≤2，0≤√U-X≤2，
所以求U的概率密度，把函数对x积分，在U:0～4时候，取0≤x≤√U，得到1/8
在U：4～16时，取,√U-2≤X≤2，得到1/（2√U）-1/8
错的确实离谱了一点。
X,Y虽然是均匀分布
但是X+Y就不是均匀分布了
一定是中间大，两头小呀。明白了么？
这个题目难度比较大,我可以给你做一下