关于几何的数学题，帮帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 15:47:38
如图所示，点C是线段AB上任意一点（C点与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE交于点N，求证：
（1）三角形ACE全等于三角形DCB
（2）MN平行于AB
（3）若AB的长为10厘米。当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长？若存在，请确定C点的位置，并求出MN的长。若不存在，请说明理由。

证明：

（1）、在△ACE和△BCD中，

因为：AC=DC,CE=CB,∠ACE=∠DCB=120°

所以：△ACE和△BCD全等。

（2）、

设AC=AD=DC=m,BC=BE=CE=n,MC=x,NC=y.则：

由AD‖EC得：n/(m+n)=y/m,即y=mn/(m+n).

由DC‖EB得：x/n=m/(m+n),即x=mn/(m+n).

所有：x=y,即△MNC是等边三角形。

所以：不难证明MN‖AB.

(3)、

存在。

由于：m+n=10,即n=10-m.

所以：x=m(10-m)/10=-(m^2)/10+m

对于二次函数x=-(m^2)/10+m来说，当m=5时，x最大，最大值是2.5.

即：当AC=5时，MN最长是2.5