向量与三角函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 04:53:58
已知A,B,C是三角形ABC的内角，I,j,分别X,Y轴上的单位向量. 且向量a=[cos(A-B)\2]i+[√5\2sin(A+B)\2]j的长度为3√2\4.
(1),求证tanA点乘tanB为定值
(2)求tan(A+B)的最小值

|a|²=(3√2/4)²=9/8
|a|²=5/4sin²(A+B)/2+cos²(A-B)/2
=5/8[1-cos(A+B)]+1/2[1+cos(A-B)]
=5/8+1/2-5/8cos(A+B)+1/2cos(A-B)=9/8
∴1/2cos(A-B)-5/8cos(A+B)=0===>4cos(A-B)-5cos(A+B)=0
===>-cosAcosB+9sinAsinB=0===>9sinAsinB=cosAcosB===>tanA·tanB=1/9
2）
ABC是三角形ABC的三个内角
∴tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC, 又tanA·tanB=1/9
∴1/9·tanC=tanA+tanB+tanC
===>-8/9tanC=tanA+tanB≥2√[tanA·tanB]=2/3
∴tanC≤-3/4, 又tan(A+B)=-tanC, ∴tan(A+B)≥3/4
∴tan(A+B)的最小值为3/4