f(x)=x2+(a-1)x+2a+1在a∈(1,3]时恒正,求x的取值范围

换个角度思考问题：把这个式子看作关于a的函数，
令f(a)=x2+(a-1)x+2a+1
=(x+2)a+x^2-x+1
当x=-2,f(a)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4恒大于0
当x<-2,一次函数单调递减，则最小值为f(3)=x^2+2x+7=(x+1)^2+6恒大于0
当x>-2,一次函数单调递增，最小值大于（x+2)*1+x^2-x+1=x^2+2>0
所以x属于R。

判别式=(a-1)^2-4(2a+1)=(a-5)^2-28,因为a∈(1,3]，所以判别式∈[4，16),恒大于零,所以与x轴必有两个交点

f(x)=x2+(a-1)x+2a+1=x2+ax-x+2a+1=(x+2)a+(x2-x+1)
看成是关于a的一次函数,在a∈(1,3]时恒正.
1.x+2>0时,一次函数是增函数.有:a=1时,f(x)>=0.
即(x+2)+x2-x+1>0,x2>-3,x为一切实数
故有:x>-2

2.x+2<0时,是减函数,有a=3时,f(x)>0
即x2+2x+7>0,x是一切实数
故x<-2.

2.x=-2时,f(x)=7>0,成立.

综上所述,X为一切实数.