在正方形ABCD的边BC，CD上各取一点M，N，满足角MAN=45度，做MP垂直于AN

分析：
这题确实比较难我也是第一次见着，这里主要是角的倍半关系不易找到，我们知道等腰三解形顶角的外角等于底角的二倍，所以我们想到把∠MPC看作一个等腰三角形的顶角的外角作出相关等腰三角形证明之。这里还要用到四点共圆的性质可正方形轴对称的性质，在这题中十分巧妙结合着！

证明；
连结BP，DP，延长MP，CD交于E，
∵∠MAN=45°，MP⊥AN，∴∠APM=∠ABM=90°，
∴A，B，M，P四点共圆，∴∠ABP=∠AMP=45°，
∴B，P，D成一直线（P在对角线BD上），
根据正方形对称性，∴∠PCD=∠PAD，
∵∠ACE=∠AME=45°，
∴A，M，C，E四点共圆，∴∠MAC=∠E，
又∠E与∠NAD都是∠AMD的余角，
∴∠E=∠PAD=∠PCD，
∴∠MPC=∠E+∠PCE=2∠E=2∠MAC