求零值定理的证明（有完整证明追加30分）

证明要用到数学分析中的区间套定理:设一无穷闭区间列{[an,bn]}适合:(1)后一区间在前一区间之内,即对任一正整数n,有an<=a(n+1)<=b(n+1)<=bn;(2)当n-->无穷时,区间列的长度{bn-an}数列收敛于0.即极限为零.则区间的端点所成的两数列{an},{bn}收敛于同一极限c,且c是所有区间的唯一公共点.
证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0 将[a,b]二等分,中点为(a+b)/2,若f((a+b)/2)=0,定理得证.若不然.两个部分区间中必有一个区间的两端点函数值异号.高此区间为[a1,b1],则有f(a1)<0,f(b1)>0.再将[a1,b1]二等分,中点为(a1+b1)/2,...如此下去,有二种可能:
(1)若干次后,某分点处函数值为零.定理得证
(2)分点处函数值不为零.此时函数在两端点异号.如此得到一个区间列{[an,bn]}且bn-an=(b-a)/2^n趋于零.满足区间套定理.
所以存在c属于[a,b],使c=liman=limbn
因为连续,所以f(c)=limf(an)<=0,f(c)=limf(bn)>=0得f(c)=0.
证毕

你先证明介值定理,零值定理是介值定理的推论