三角形ABCD的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点，

E是AC的中点，
S△ABE=S△CBE=S△ABC/2=1/2，
O是BE的中点，
S△AOB=S△AOE=S△ABE/2=1/4，
S△BOC=S△COE=S△CBE/2=1/4，
过点E分别作EM‖CF交AB于M，EN‖AD交BC于N，
在三角形AFC中，ME是中位线，AM=MF，
在三角形BME中，OF是中位线，BF=MF，
BF=FM=MA=1/3AB，
在三角形BEN中，OD是中位线，BD=DN，
在三角形CAD中，EN是中位线，DN=NC，
BD=DN=NC=1/3BC，
S△BOF=S△AOB/3=1/12，
S△BOD=S△BOC/3=1/12，
S四边形BDOF=S△BOF+S△BOD=1/6。

三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE中点，连接AO，并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F。
先证S△AOB=1/4，S△BOC=1/4
过点E分别作EM‖CF交AB于M，EN‖AD交BC于N，则
BF=FM=MA=1/3AB，BD=DN=NC=1/3BC
∴S△BOF=1/3S△AOB=1/12，S△BOD=1/3S△BOC=1/12
∴S四边形BDOF=S△BOF+S△BOD=1/6

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六分之一