在RT ΔABC中,C=90°,A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且c=10,a=6,P为ΔABC的内切圆上的动点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 23:12:52
在RT ΔABC中,C=90°,A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且c=10,a=6,P为ΔABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值

RT ΔABC中,C=90°,A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且c=10,a=6，则由勾股定理得
b=8
P为ΔABC的内切圆O的动点
r=ab/(a+b+c)=6*8/(6+8+10)=2
设ΔABC各顶点的坐标为：C(0,0),A(8,0),B(0,6),则内切圆圆心O(2,2)
设P(x,y)，则内切圆方程
(x-2)^2+(y-2)^2=4
x^2+y^2-4x-4y=-4
x=2+2cosα,y=2+2sinα
设点P到各顶点A,B,C的距离的平方和为s，则
s=x^2+y^2+(x-8)^2+y^2+x^2+(y-6)^2
=3(x^2+y^2-4x-4y)-4x+100
=3*(-4)-4x+100
=88-4x
=88-4(2+2cosα)
=80-8cosα
1≥cosα≥-1
88≥s≥72
点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值=88，最小值=72