高数题 真正高手进 谢谢

首先分子分母同乘【根号（1+tanx）+根号(1+sinx)】
则分子变为
(1+tanx)-(1+sinx)
=tanx-sinx
=sinx(1-cosx)/cosx
分母变为
x(1-cosx)*【根号（1+tanx）+根号(1+sinx)】
所以原式变为
Lim(x->0)
【sinx(1-cosx)/cosx】/{x(1-cosx)*【根号（1+tanx）+根号(1+sinx)】
}
=sinx/{xcosx(根号（1+tanx）+根号（1+sinx）)}
=1/2

解题过程如图：

先把1-cosx等价无穷小代换为x^2/2,此时为0/0未定式，罗比达法则，分子就趋向于常数，分母仍然趋于0，所以极限趋于无穷

lim(x→0) [√(1+tanx)-1]-[√(1+sinx)-1] / x(1-cosx)
=(ta