已知(a+1）的平方=a平方+2a+1

就是
2²=1²+2×1+1
3²=2²+2×2+1
4²=3²+2×3+1
……
(n+1)²=n²+2×n+1
通通相加
2²+3²+……+(n+1)²=1²+2²+3²+……+n²+2×(1+2+……+n)+1×n
左右相同的抵消
(n+1)²=1²+2×(1+2+……+n)+n
n²+2n+1=1²+2×(1+2+……+n)+n
n²+n=2×(1+2+……+n)
所以1+2+……+n=n(n+1)/2

(1+1)^2=1^2+2*1+1
(2+1)^2=2^2+2*2+1
(3+1)^2=3^2+2*3+1
……
(n+1)^2=n^2+2*n+1
即2^2=1^2+2*1+1
3^2=2^2+2*2+1
4^2=3^2+2*3+1
……
(n+1)^2=n^2+2*n+1
相加
2^2+3^2+……+n^2+(n+1)^2=1^2+2^2+……+n^2+2*(1+2+……+n)+1*n
所以(n+1)^2=1^2+2*(1+2+……+n)+n
所以(n+1)^2=(n+1)+2*(1+2+……+n)
所以2*(1+2+……+n)=(n+1)^2-(n+1)=(n+1)*(n+1-n)=n(n+1)
所以1+2+……+n=n(n+1)/2

把上面的n个式子二边分别全部加起来得到:
(1+1)^2+(2+1)^2+(3+1)^2+...+(n+1)^2
=1^2+2^2+3^2+...+n^2+2(1+2+3+..+n)+n
等式二边2^2+3^2+...+n^2相同减去.
-->(n+1)^2=1+2(1+2+3+..+n)+n
-->2(1+2+3+..+n)=(n+1)^