若n是正整数，n+3与n+7都是质数，求n除以6所得的余数

N除以6以后的余数有6种,是0,1,2,3,4,5.
按余数把数分6类：6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.

当n=6k,6k+3,时。n+3是3的倍数。不成立。
当n=6k+1,6k+5时。n+3是2的倍数。不成立。
当n=6k+2,时。n+7是3的倍数。不成立。

只有当n=6k+4时。n+3,n+7才可能是质数。

所以余数=4。

4

10+3=13，10+7=17，余4

首先，我们知道，除了2以外的质数都是奇数，而n是正整数，n+3，n+7都大于2，所以，n+3，n+7一定是奇数，那么，n一定是个偶数。
作为一个偶数，n除以6可能的余数只有0，2，4，下面我们分别来考察这三种情形。
1）余数为0，也就是说，n是6的倍数，那么n也必然是3的倍数，n+3仍然是3的倍数，这与n+3是质数矛盾。所以，余数不可能为0。
2）余数为2，那么，n+7就是3的倍数，这与n+7为质数矛盾。所以，余数不可能为2。
那么，如果这样的n存在，它除以6所得的余数就只剩下一种可能，余数为4。
当然，原题的逆命题不成立，并不是说满足除以6余数为4的n都可以，例如，n=22，此时，n+3=25不是质数。

质数除以6所得的余数只能是1，5。n+3与n+7相差4，所以n+3除以6所得的余数是1，n除以6所得的余数是1+6-3=4。