证明对任意的abcd,恒有(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2-(ac)2-(bd)2-2abcd
=(ad-bc)2>=0

就展开吧
a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+b²d²+a²d²+b²d²
两边消去得到
2abcd≤a²d²+b²d²
就是要我们证明这个式子成立就行了
那么这样看（ad-bd）^2≥0
那么展开得到a²d²+b²d²-2abcd≥0
所以2abcd≤a²d²+b²d²得证，即原命题得证

(ac+bd)²=a²c²+2acbd+b²d²
(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²d²+b²c²

用2式减1式=a²d²+b²c²-2abcd=(ad-bc)²>=0
所以2式>=1式