已知14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²求证a∶b∶c=1∶2∶3

先假设结论成立
a:b:c=1:2:3
假设a=k,b=2k,c=3k k不等于0
带入已知的方程
14(k²+4k²+9k²)=14²k²
等式右边=(k+4k+9K)²=14²k²
相等
所以成立

得用到柯西不等式
14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²
（1²＋2²＋3²）（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²
由一般形式的柯西不等式（高中数学选修课本上都有，浙江是选修4－5）
及其定理【在本题中应用为（1²＋2²＋3²）（a²+b²+c²）>=（a+2b+3c）²】
可得

关于柯西不等式
http://baike.baidu.com/view/7618.html?wtp=tt（百度百科上有，但你如果没接触过课本可能有些难以理解）

两边展开 合并同类项 除掉c² 令a/c=x,b/c=y, 得到方程
13x²+10y²-4xy-12y-6x+5=0
因式分解得(2x-y)²+(3x-1)²+(3y-2)²=0
证毕