各种形式递推数列求通项的方法和特征方程

1.
An=p+q/A(n-1)=[pA(n-1)+q]/A(n-1)
变形为An+X=[(p+X)A(n-1)+q]/A(n-1)
X需满足An系数与常数X的比值=右边分子中A(n-1)系数与常数比值
1/X=(p+X)/q
X^2+pX-q=0
求得X的解X1、X2，带入上式。
具体数字更直观些。
如：p=2，q=3
X1=-3，X2=1
An=[2A(n-1)+3]/A(n-1)
(An)-3=[-A(n-1)+3]/A(n-1)=-[A(n-1)-3]/A(n-1)
(An)+1=[3A(n-1)+3]/A(n-1)=3[A(n-1)+1]/A(n-1)
两式相除
[(An)+1]/[(An)-3]=-3[A(n-1)+1]/[A(n-1)-3]
数列{[(An)+1]/[(An)-3]}是以-3为公比的等比数列
题目需告知A1，若A1=2
(A1+1)/(A1-3)=-3
[(An)+1]/[(An)-3]=-3×(-3)^(n-1)=(-3)^n
An=[3(-3)^n+1]/[(-3)^n-1]
记得验算A1是否符合上式。

2.
An=pA(n-1)+qA(n-2)
An+XA(n-1)=(p+X)A(n-1)+qA(n-2)
1/X=(P+X)/q
同样假设p=2,q=3
解得X1=-3,X2=1
An=2A(n-1)+3A(n-2)
An-3A(n-1)=-[A(n-1)-3A(n-2)]
若A1=1，A2=2
A2-3A1=-1
A(n+1)-3An=(-1)^n 是等比数列
An+A(n-1)=3[A(n-1)+A(n-2)]
A2+A1=3
A(n+1)+An=3^n 也是等比数列
两式联立求出An=[3^n-(-1)^n]/4
也需要验算A1、A2

3.
这个没想出来。有人悬赏20分，到现在还没人做出来。

4.<