a1=k, a(n+1)=Sn+3^n, n∈N*

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 01:39:41
a1=k, a(n+1)=Sn+3^n, n∈N*。
（1）设bn=Sn-3^n, 求bn的通项公式。
（2）若对一切n∈N*， 恒有a(n+1)≥an，求k的取值范围。

谢。

A(n+1)=S(n+1)-Sn
得:S(n+1)-Sn=Sn+3^n
∴S(n+1)=2Sn+3^n
∴S(n+1)-3*3^n=2Sn-2*3^n
∴S(n+1)-3^(n+1)=2(Sn-3^n)
∴B(n+1)=2Bn
又∵S1=A1=k,B1=k-3
∴Bn为以k-3为首项，2为公比的等比数列
∴Bn=(k-3)*2^(n-1)

2:a(n+1)=Sn+3^n=bn+2*3^n
a(n+1)-an
=bn+2*3^n-[b(n-1)+2*3^(n-1)]
=bn-b(n-1)+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*[2^(n-1)-2^(n-2)]+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*2^(n-2)+4*3^(n-1)>=0
a-3>=-4*3^(n-1)/2^(n-2)
=-12*(3/2)^(n-2)
a>=3-12*(3/2)^(n-2)
因为n-1>=1，所以n最小为2
(3/2)^(n-2)最小=(3/2)^(2-2)=1
3-12*(3/2)^(n-2)最大=3-12*1=-9
k>=-9