函数求证题

这是2007年高考天津数学(文科)试题的21题
答案如下：

(21)(Ⅰ)解：当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x，得f(2)=-2，且f′(x)=-3x2+4x-1，f′(2)=-5.

所以，曲线y=-x(x-1)2在点(2,-2)处的切线方程是y+2=-5(x-2)，整理得5x+y-8=0.

(Ⅱ)解：f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x，

f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a).

令f′(x)=0，解得或x=a.

由于a≠0，以下分两种情况讨论.

(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)的正负如下表：

x (-∞,a/3) a/3 (a/3,a) a (a,+∞)

f′(x) - 0 + 0 -

因此，函数f(x)在处取得极小值，且；函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)，且f(a)=0.
(2)若a＜0，当x变化时，f′(x)的正负如下表：

x (-∞,a) a (a/3a, ) a/3 (a/3,+∞)

f'(x) - 0 + 0 -

因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a)，且f(a)=0；函数f(x)x=a/3在处取得极大值f(a/3)=-4/27 a^3

(Ⅲ)证明：由a＞3，得a/3＞1，当k∈[-1,0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1.

由(Ⅱ)知，f(x)在(-∞,1]上是减函数，要使f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)，x∈R，只要k-cosx≤k2-cos2x(x∈R)，即

cos2x-cosx≤k2-k(x∈R).①

设g(x)cos^2x-cosx=(cosx-1