高中数学函数题：求证

因为方程f(x)=0有一个根为1/2,则有1/4-b/2+c=0,
即有b=2c+1/2
M为最大值所以M>=f(0),M>=f(1)
当x=0时,f(0)=c
当x=1时,f(1)=1-b+c=1/2-c
2M=M+M>=f(0)+f(1)=1/2
M>=1/4

f(x)=x2-bx+c开口向上故在任意的X封闭区间内f(x)的最大值必然在区间两端,x∈[0 , 1]时最大值为F(1)或F(0)
f(1/2)=1/4-b/2+c=0
f(max)>=(f(1)+f(0))/2=(1-b+2c)/2=1/4-b/2+c+1/4=1/4