高二数学三角函数，在线等~已知在△ABC中，y=1+cosCcos（A-B)-cos^2 C,求函数y最大值

在三角形ABC中C=π-(A+B)
y=1+cos(C)[cos(A-B)-cos(π-(A+B))]
=1+cos(C)[cos(A-B)+cos(A+B)]
=1+2cos(A)cos(B)cos(C)
取最大值时应有cos(A)cos(B)cos(C)>0
即A,B,C都是锐角
y=1+cos(C)[cos(A-B)+cos(A+B)]
<=1+cos(C)[1+cos(A+B)]
=1+cos(C)[1-cos(C)]
[平均值不等式]
<=1+[cos(C)+1-cos(C)]^2/4
=5/4
取等号时cos(A-B)=1 cos(C)=1-cos(C)
即得A=B=C=π/3

1）∵y=2+cosCcos（A-B）-cos2C=2-cos（A+B）cos（A-B）-cos2C
=2-1 2 (cos2A+cos2B)-cos2C
=2-1 2 (2cos2A-1+2cos2B-1)-cos2C
=3-cos2A-cos2B-cos2C=sin2A+sin2B+sin2C
∴任意交换A，B，C的位置，y的值不会发生变化．
（2）将y看作是关于cosC的二次函数．y=2+cosCcos（A-B）-cos2C=-(cosC-1 2 cos(A-B))2+1 4 cos2(A-B)+2．
所以，当cosC=1 2 cos(A-B)，且cos2（A-B）取到最大值1时，也即A=B=C=π 3 时，y取得最大值9 4 ．
也可有如下简单解法：y=2+cosCcos（A-B）-cos2C≤2+|cosC|-|cosC|2=9 4 -(|cosC|-1 2 )2≤9 4 ．