数学圆与直线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 22:24:24
从圆C：x^2+y^2-4x-6y+12=0外一点P（a,b)向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为原点），求|PT|的最小值及此时P的坐标。

圆C方程可化为：(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 ，圆心C(2 ，3) ，∵PT切圆C于T ，∴由勾股定理：PT^2 = PC^2 - 1 = (a - 2)^2 + (b - 3)^2 - 1 ，PO^2 = a^2 + b^2 ，∵PT = PO ，∴PT^2 = PO^2 ，∴(a - 2)^2 + (b - 3)^2 - 1 = a^2 + b^2 ，∴2a + 3b = 6 ，PT^2 = a^2 + b^2 = 9(b-2)^2/4 + 4b^2/4 = (13b^2 - 36b + 36)/4 ，开口向上的二次函数(13b^2 - 36b + 36)在顶点处取得最小值 ，此时b = 18/13 ，∴a = 12/13 ，∴P的坐标为：(12/13 ，18/13) ，|PT|min = 36/13 。